Tổng hợp Công thức logarit cơ bản đến nâng cao đầy đủ nhất

Tóm tắt toàn bộ công thức logarit thương chương trình toán lớp 12 đầy đủ. Bảng công thức giúp bạn ôn lại nhanh hơn. Xem thêm các dạng bài tập được đề cập trong bài viết sẽ giúp bạn đọc hiểu hơn về logarit và vận dụng một cách đơn giản hơn.

Chúng ta có những công thức logarit nào?. Việc nhớ được các công thức có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc học chương lôgarit. Trong công thức lôgarit, có những công thức được suy ra từ công thức khác. Vì vậy chúng ta nên nhớ những công thức tổng quát. Rồi từ đó suy ra các công thức khác. Sau một thời gian luyện tập với cách như vậy kết hợp với làm bài tập, tôi cam đoan các bạn sẽ thuộc lòng các công thức. Bây giờ hãy đọc bài viết dưới đây để biết thêm nhé!

Để cho đỡ phải nhắc lại nhiều lần, trong các công thức dưới đây (nếu không nói gì thêm)chúng ta đều hiểu là các biểu thức có nghĩa. Tức là cơ số luôn dương, khác 1 và biểu thức dưới dấu logarit luôn dương.

Logarit là gì?

Logarit là đối ngược với mũ. Hay nói cách khác, nếu chúng ta lấy logarit của một số sẽ trả về số mũ với cùng cơ số. Chúng ta cùng xét một ví dụ đơn giản sau. Nếu ta lấy lũy thừa 3 của 2 thì ta có 2³=8. Điều đó có nghĩa là nếu ta lấy logarit cơ số 2 của 8 thì ta sẽ được kết quả là số 3. Tổng quát chúng ta có công thức sau:

Logarit là gì?
Logarit là gì?

Bảng công thức logarit

Bảng công thức logarit giúp bạn tra cứu dễ dàng khi ôn tập. Để ghi nhớ kĩ hơn các công thức này bạn có thể thực hành nhiều dạng bài tập ở phía dưới bài viết.

Công thức logarit
Bảng công thức logarit

Định nghĩa về logarit

Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logb. Ta viết: α = logb = a ⇔ aα = b

Các tính chất: Cho a, b > 0, a ≠ 1, ta có:

loga = 1, log1 = 0

, log(aα)=α

Ứng dụng công thức logarit giải bài tập

Công thức logarit vận dụng vào nhiều dạng bài tập khác nhau như tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa logarit, biến đổi biểu thứ logarit, so sách biểu thức logarit. Các bài tập này đều là nền tảng cho phần hàm số logarit mà chúng ta sẽ được tìm hiểu ở những bài học tiếp theo.

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức logarit

Ghi nhớ

Biểu thức loga f(x) xác định 

Chú ý rằng: Khi giải bất phương trình An > 0 cần nhớ:

n  là số tự nhiên lẻ thì An > 0 ⇔ A > 0.

n  là số tự nhiên chẵn thì An > 0 ⇔ A ≠ 0.

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức logarit

 

 

Dạng 3: Biểu diễn logarit theo các logarit đã biết

Ghi nhớ

Để giải quyết bài toán biểu diễn logarit theo các logarit đã biết, chúng ta có thể sử dụng một trong hai cách:

Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit.

Cách 2: Sử dụng MTCT.

Bài toán minh hoạ: Cho log23 = a, log25 = b. Biểu diễn log320 theo a, b .

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Sử dụng các tính chất của logarit

Ta có: log320 = log3(22․5) = 2 log32 + log35

Cách 2: Sử dụng MTCT (Casio 570 hoặc Vinacal)

Bước 1: (Gán 3 giá trị log23 và log2  vào các biến A, B và C trong máy tính)

Bước 2: (Thử đáp án)

Ví dụ 1: Giả sử đặt a = log23, b = log53. Hãy biểu diễn log645 theo a và b.

Lời giải

Chọn C

Ta có 

Vậy 

Ví dụ 2: Giả sử đặt log126 = a, log127 = b. Hãy biểu diễn log27 theo a và b.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Ta có 

Vậy 

Cách 2: Ta có 

Ví dụ 3: Cho số thực dương b thỏa mãn b ≠ 1và các số thực a, c, x thỏa mãn: logb3 = a; logb6 = c và 3x = 6. Hãy biểu diễn x theo a và c.

C a + c

Lời giải

Chọn D

Ta có 3x = 6 ⇔ 

Vậy x = 

Ví dụ 4: Cho log23 = a, log35 = b, log72 = c. Hãy tính log14063  theo a, b, c

Lời giải

Chọn A

Ta có 

Ví dụ 5: Cho  (a, b, c ∈ ℤ). Tính tổng a + b + c.

A -4

B 2

C 0

D 1

Lời giải

Chọn D

Ta có 

Vậy  ⇒ a + b + c = 2 – 2 + 1 = 1

Ví dụ 6: Cho các số dương a, b thỏa mãn 4a2 + 9b2 = 13ab. Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau.

Lời giải

Chọn C

Ta có 4a2 + 9b2 = 13ab ⇔ (2x + 3b)2 = 25ab

Lấy logarit cơ số 10 cho hai vế ta được:

2log (2x + 3b) = log (25ab) ⇔ 2log (2x + 3b) = 2log5 + log a + log b

⇔ 

Thủ thuật casio dùng với công thức logarit

#1. Phương pháp hệ số hóa biến

 Bước 1 : Dựa vào hệ thức điều kiện buộc của đề bài chọn giá trị thích hợp cho biến

 Bước 2 : Tính các giá trị liên quan đến biến rồi gắn vào A, B, C nếu các giá trị tính được lẻ

 Bước 3 : Quan sát 4 đáp án và chọn đáp án chính xác

Một số bài toán minh họa

Bài toán 1: Đặt a = log23, b = log53. Hãy biểu diễn log645 theo a và b

Lời giải

Chọn C

#2. Phương pháp casio

Tính giá trị của a = log23. Vì giá trị của a  ra một số lẻ vậy ta lưu a vào A

Tính giá trị của b = log53 và lưu vào B

Bắt đầu ta kiểm tra tính đúng sai của đáp án A. Nếu đáp án A đúng thì hiệu  phải bằng 0. Ta nhập hiệu trên vào máy tính Casio và bấm nút =

Kết quả hiển thị của máy tính Casio là 1 giá trị khác 0 vậy đáp án A sai

Tương tự như vậy ta kiểm tra lần lượt từng đáp án và ta thấy hiệu  bằng 0

Vậy 

#3. Phương pháp tự luận

Ta có 

Vậy 

Bình luận

Cách tự luận trong dạng bài này chủ yếu để kiểm tra công thức đổi cơ số:

Công thức 1:  (với a ≠ 1)

Công thức 2:  (với b > 0, b ≠ 1)

Cách Casio có vẻ nhiều thao tác nhưng dễ thực hiện và độ chính xác 100%. Nếu tự tin cao thì làm tự luận, nếu tự tin thấp thì nên làm Casio vì làm tự luận mà biến đổi sai 1 lần thôi rồi làm lại thì thời gian còn tốn hơn cả làm theo Casio

Bài toán 2: Cho log9 x = log12 y = log16 (x + y). Giá trị của tỉ số  là ?

C 1

D 2

Lời giải

Chọn B

Phương pháp casio

Từ đẳng thức log9 x = log12 y ⇒ . Thay vào hệ thức log9 x = log16 (x + y) ta được: 

Ta có thể dò được nghiệm phương trình  bằng chức năng SHIFT SOLVE

Lưu nghiệm này vào giá trị  A

Ta đã tính được giá trị x vậy dễ dàng tính được giá trị . Lưu giá trị y này vào biến B

Tới đây ta dễ dàng tính được tỉ số .

Đây chính là giá trị 

Phương pháp tự luận

Đặt log9 x = log12 y = log16 (x + y) = t

Vậy  x = 9t; y = 12t; x + y = 16t

Ta thiết lập phương trình  và 

Vậy 

Vì  > 0 nên 

Bình luận

Một bài toán cực khó nếu tính theo tự luận. Nhưng nếu xử lý bằng Casio thì cũng tương đối dễ dàng và độ chính xác là 100%

Bài toán 3: Cho log2 (log8 x) = log8 (log2 x) thì (log2 x)2 bằng?

A 3

C 27

Lời giải

Chọn C

Phương trình điều kiện ⇔ log2 (log8 x) – log8 (log2 x) = 0. Dò nghiệm phương trình, lưu vào A

Thế x = A để tính (log2 x)2

Bài toán 4: Nếu log126 = a, log127 = b thì:

Lời giải

Chọn B

Tính log126 rồi lưu vào A

Tính log127 rồi lưu vào B

Ta thấy 

Bài toán 5: Tìm x biết log3 x = 4log3 a + 7log3 b.

A x = a3b7

B x = a4b7

C x = a4b6

D x = a3b6

Lời giải

Chọn B

Theo điều kiện tồn tại của hàm logarit thì ta chọn a, b >0. Ví dụ ta chọn a = 1.125 và b = 2.175

Khi đó log3 x = 4log3 a + 7log3 b 

Thử các đáp án ta thấy x = (1.125)4(1.175)7

Bài toán 6: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng?

A y’ + 2y ln2 = 0

B y’ + 3y ln2 = 0

C y’ – 8h ln2 = 0

D y’ + 8y ln2 = 0

Lời giải

Chọn B

Chọn x = 1.25 tính  rồi lưu vào A

Tính y’(1.25) rồi lưu vào B

Rõ ràng B + 3 ln2․A = 0

Bài toán 7: Cho a, b > 0; a2 + b2 = 1598ab. Mệnh đề đúng là

Lời giải:

Chọn a = 2 ⇒ Hệ thức trở thành 4 + b2 = 3196b ⇔ b2 – 3196b + 4 = 0. Dò nghiệm và lưu vào B

Tính 

Tính tiếp log a + log b

Rõ ràng giá trị log a + log b gấp 2 lần giá trị 

Leave a Reply

Your email address will not be published.